Matemática básica Ejemplos

$t^{2} + \frac{3}{t^{4} - 16} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{{(t^{2})}^{2} - 16} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{{(t^{2})}^{2} - 4^{2}} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Paso 1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t^{2}$ y $b = 4$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t^{2} - 4)} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t^{2} - 2^{2})} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Paso 1.1.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t$ y $b = 2$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{16 - t^{4}}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{4^{2} - t^{4}}$

Paso 1.2.2

Reescribe $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{4^{2} - {(t^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = t^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (4 - t^{2})}$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2^{2} - t^{2})}$

Paso 1.2.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = t$ .

$t^{2} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 2

Para escribir $t^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$ .

$t^{2} \cdot \frac{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina $t^{2}$ y $\frac{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$ .

$\frac{t^{2} ((t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2))}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{t^{2} ((t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(t^{2} + 4) (t + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} ((t^{2} (t + 2) + 4 (t + 2)) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} ((t^{2} t + t^{2} \cdot 2 + 4 (t + 2)) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} ((t^{2} t + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{2} ((t^{2} t^{1} + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{2} ((t^{2 + 1} + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.2.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{t^{2} ((t^{3} + t^{2} \cdot 2 + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} ((t^{3} + 2 \cdot t^{2} + 4 t + 4 \cdot 2) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.2.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{t^{2} ((t^{3} + 2 t^{2} + 4 t + 8) (t - 2)) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.3

Expande $(t^{3} + 2 t^{2} + 4 t + 8) (t - 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{t^{2} (t^{3} t + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1

Multiplica $t^{3}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $t^{3}$ por $t$ .

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Paso 4.4.1.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{2} (t^{3} t^{1} + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{2} (t^{3 + 1} + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.1.2

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + t^{3} \cdot - 2 + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $t^{3}$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 \cdot t^{3} + 2 t^{2} t + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.3

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.3.1

Mueve $t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 (t \cdot t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.3.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 4.4.3.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 (t^{1} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{1 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} + 2 t^{2} \cdot - 2 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.5

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.5.1

Mueve $t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.5.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} + 4 t \cdot - 2 + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.6

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t + 8 \cdot - 2) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.4.7

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.5

Combina los términos opuestos en $t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{3} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16$ .

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Paso 4.5.1

Suma $- 2 t^{3}$ y $2 t^{3}$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + 0 - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.5.2

Suma $t^{4}$ y $0$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 4 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.5.3

Suma $- 4 t^{2}$ y $4 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + 0 - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.5.4

Suma $t^{4}$ y $0$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 8 t + 8 t - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.5.5

Suma $- 8 t$ y $8 t$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} + 0 - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.5.6

Suma $t^{4}$ y $0$ .

$\frac{t^{2} (t^{4} - 16) + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} t^{4} + t^{2} \cdot - 16 + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.7

Multiplica $t^{2}$ por $t^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.7.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{2 + 4} + t^{2} \cdot - 16 + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.7.2

Suma $2$ y $4$ .

$\frac{t^{6} + t^{2} \cdot - 16 + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 4.8

Mueve $- 16$ a la izquierda de $t^{2}$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(4 + t^{2}) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Reordena los términos.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (2 + t) (2 - t)}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (2 - t)}$

Paso 5.3

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2) - t)}$

Paso 5.4

Factoriza $- 1$ de $- t$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2) - (t))}$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - (t)$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2 + t))}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Mueve un negativo del denominador de $\frac{7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 1 (- 2 + t))}$ al numerador.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{- 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (- 2 + t)}$

Paso 5.6.2

Reordena los términos.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)} + \frac{- 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Paso 5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3 - 1 \cdot 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} + 3 - 7}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$

Paso 6.2

Resta $7$ de $3$ .

$\frac{t^{6} - 16 t^{2} - 4}{(t^{2} + 4) (t + 2) (t - 2)}$